Thực đơn
Giá trị riêng và vectơ riêng
Bảng dưới đây liệt kê các ví dụ về các phép biến đổi hình học trong mặt phẳng cùng các ma trận 2×2 của chúng và các giá trị riêng và vectơ riêng.
| Phép tỉ lệ | Phép tỉ lệ không đều | Phép quay | Phép trượt ngang | Phép quay hyperbolic | |
|---|---|---|---|---|---|
| Minh họa | |||||
| Ma trận | [ k 0 0 k ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}}} | [ k 1 0 0 k 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{bmatrix}}} | [ c − s s c ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}c&-s\\s&c\end{bmatrix}}} c = cos θ {\displaystyle c=\cos \theta } s = sin θ {\displaystyle s=\sin \theta } | [ 1 k 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}} | [ c s s c ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}c&s\\s&c\end{bmatrix}}} c = cosh φ {\displaystyle c=\cosh \varphi } s = sinh φ {\displaystyle s=\sinh \varphi } |
| Đa thức đặc trưng | ( λ − k ) 2 {\displaystyle \ (\lambda -k)^{2}} | ( λ − k 1 ) ( λ − k 2 ) {\displaystyle (\lambda -k_{1})(\lambda -k_{2})} | λ 2 − 2 c λ + 1 {\displaystyle \lambda ^{2}-2c\lambda +1} | ( λ − 1 ) 2 {\displaystyle \ (\lambda -1)^{2}} | λ 2 − 2 c λ + 1 {\displaystyle \lambda ^{2}-2c\lambda +1} |
| Giá trị riêng, λ i {\displaystyle \lambda _{i}} | λ 1 = λ 2 = k {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=k} | λ 1 = k 1 {\displaystyle \lambda _{1}=k_{1}} λ 2 = k 2 {\displaystyle \lambda _{2}=k_{2}} | λ 1 = e i θ = c + s i {\displaystyle \lambda _{1}=e^{\mathbf {i} \theta }=c+s\mathbf {i} } λ 2 = e − i θ = c − s i {\displaystyle \lambda _{2}=e^{-\mathbf {i} \theta }=c-s\mathbf {i} } | λ 1 = λ 2 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=1} | λ 1 = e φ {\displaystyle \lambda _{1}=e^{\varphi }} λ 2 = e − φ {\displaystyle \lambda _{2}=e^{-\varphi }} , |
| Số bội đại số μ i = μ ( λ i ) {\displaystyle \mu _{i}=\mu (\lambda _{i})} | μ 1 = 2 {\displaystyle \mu _{1}=2} | μ 1 = 1 {\displaystyle \mu _{1}=1} μ 2 = 1 {\displaystyle \mu _{2}=1} | μ 1 = 1 {\displaystyle \mu _{1}=1} μ 2 = 1 {\displaystyle \mu _{2}=1} | μ 1 = 2 {\displaystyle \mu _{1}=2} | μ 1 = 1 {\displaystyle \mu _{1}=1} μ 2 = 1 {\displaystyle \mu _{2}=1} |
| Số bội hình học γ i = γ ( λ i ) {\displaystyle \gamma _{i}=\gamma (\lambda _{i})} | γ 1 = 2 {\displaystyle \gamma _{1}=2} | γ 1 = 1 {\displaystyle \gamma _{1}=1} γ 2 = 1 {\displaystyle \gamma _{2}=1} | γ 1 = 1 {\displaystyle \gamma _{1}=1} γ 2 = 1 {\displaystyle \gamma _{2}=1} | γ 1 = 1 {\displaystyle \gamma _{1}=1} | γ 1 = 1 {\displaystyle \gamma _{1}=1} γ 2 = 1 {\displaystyle \gamma _{2}=1} |
| Vectơ riêng | Mọi vectơ khác 0 | u 1 = [ 1 0 ] u 2 = [ 0 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\\u_{2}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{aligned}}} | u 1 = [ 1 − i ] u 2 = [ 1 + i ] {\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={\begin{bmatrix}{\ }1\\-\mathbf {i} \end{bmatrix}}\\u_{2}&={\begin{bmatrix}{\ }1\\+\mathbf {i} \end{bmatrix}}\end{aligned}}} | u 1 = [ 1 0 ] {\displaystyle u_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}} | u 1 = [ 1 1 ] u 2 = [ 1 − 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={\begin{bmatrix}{\ }1\\{\ }1\end{bmatrix}}\\u_{2}&={\begin{bmatrix}{\ }1\\-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} |
Phương trình hiệu (công thức truy hồi) đơn giản nhất có dạng tuyến tính
x t = a 1 x t − 1 + a 2 x t − 2 + ⋯ + a k x t − k . {\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.} (a)Các nghiệm của phương trình này là liên hệ tường minh của x theo t, có thể giải được từ phương trình đặc trưng
λ k − a 1 λ k − 1 − a 2 λ k − 2 − ⋯ − a k − 1 λ − a k = 0 , {\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0,}Để tìm phương trình đặc trưng, ta lập hệ k phương trình bao gồm phương trình thứ nhất là phương trình truy hồi (a) và k – 1 phương trình còn lại có dạng
x t − 1 = x t − 1 , … , x t − k + 1 = x t − k + 1 {\displaystyle x_{t-1}=x_{t-1},\ \dots ,\ x_{t-k+1}=x_{t-k+1}} , đây là hệ bậc nhất k chiều với vectơ biến [ x t ⋯ x t − k + 1 ] T {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{t}&\cdots &x_{t-k+1}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}
[ x t x t − 1 ⋮ ⋮ x t − k + 1 ] = [ a 1 a 2 ⋯ ⋯ a k 1 0 ⋯ ⋯ 0 0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 1 0 ] [ x t − 1 x t − 2 ⋮ ⋮ x t − k ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{t}\\x_{t-1}\\\vdots \\\vdots \\x_{t-k+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &\cdots &a_{k}\\1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &&\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{t-1}\\x_{t-2}\\\vdots \\\vdots \\x_{t-k}\end{bmatrix}}}Tìm đa thức đặc trưng của ma trận của hệ rồi giải ra được k nghiệm đặc trưng λ 1 , … , λ k , {\displaystyle \lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{k},} để thay vào liên hệ tường minh
x t = c 1 λ 1 t + ⋯ + c k λ k t . {\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}Một ví dụ điển hình là tìm công thức tổng quát của dãy Fibonacci.
Phương pháp tương tự cũng được dùng để giải một phương trình vi phân có dạng
d k x d t k + a k − 1 d k − 1 x d t k − 1 + ⋯ + a 1 d x d t + a 0 x = 0. {\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}Một ví dụ về phương trình giá trị riêng mà biến đổi T {\displaystyle T} được biểu diễn dưới dạng một toán tử vi phân là phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian trong cơ học lượng tử:
H ψ E = E ψ E {\displaystyle H\psi _{E}=E\psi _{E}\,}trong đó H {\displaystyle H} hay toán tử Hamilton, là một toán tử vi phân cấp 2 và ψ E {\displaystyle \psi _{E}} , hàm sóng là một trong số các hàm riêng của nó tương ứng với giá trị riêng E {\displaystyle E} , được hiểu là năng lượng.
Tuy nhiên, trong trường hợp ta chỉ quan tâm đến các nghiệm trạng thái biên (bound state) của phương trình Schrödinger, ta tìm hàm riêng ψ E {\displaystyle \psi _{E}} trong không gian các hàm khả tích bình phương. Bởi không gian này là một không gian Hilbert với tích vô hướng được định nghĩa, ta có thể xác định một tập cơ sở sao cho ψ E {\displaystyle \psi _{E}} và H {\displaystyle H} có thể được biểu diễn tương ứng dưới dạng một mảng một chiều (tức là một vectơ) và một ma trận. Điều này cho phép biểu diễn phương trình Schrödinger dưới dạng ma trận.
Ký hiệu bra-ket thường được sử dụng trong ngữ cảnh này. Một vectơ biểu diễn trạng thái của một hệ, trong không gian Hilbert của các hàm khả tích bình phương được ký hiệu bởi | Ψ E ⟩ {\displaystyle |\Psi _{E}\rangle } . Với cách ký hiệu này, phương trình Schrödinger có thể viết là:
H | Ψ E ⟩ = E | Ψ E ⟩ {\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle }trong đó | Ψ E ⟩ {\displaystyle |\Psi _{E}\rangle } là một trạng thái riêng của H {\displaystyle H} , và E {\displaystyle E} biểu diễn cho giá trị riêng. H {\displaystyle H} là một toán tử tự liên hợp quan sát được, đây là khái niệm vô hạn chiều tương tự với ma trận Hermite. Giống trường hợp ma trận, trong phương trình trên, H | Ψ E ⟩ {\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle } được hiểu là vectơ có được khi áp dụng biến đổi H {\displaystyle H} tác động lên | Ψ E ⟩ {\displaystyle |\Psi _{E}\rangle } .
Trong cơ học lượng tử, và đặc biệt là trong vật lý nguyên tử và phân tử, theo lý thuyết Hartree–Fock, các orbital của nguyên tử hay phân tử có thể được định nghĩa là các vectơ riêng của toán tử Fock. Các giá trị riêng tương ứng được hiểu là các thế ion hóa qua định lý Koopmans. Trong trường hợp này, thuật ngữ vectơ riêng được sử dụng với một ý nghĩa khá chung hơn, vì toán tử Fock phụ thuộc tường minh vào các orbital và các giá trị riêng của chúng. Vậy nếu ta muốn nhấn mạnh khía cạnh này, ta phải nói về các bài toán giá trị riêng phi tuyến tính. Những phương trình này thường được giải bằng một quá trình lặp, được gọi trong trường hợp này là phương pháp trường tự nhất quán. Trong hóa lượng tử, ta có thể biểu diễn phương trình Hartree–Fock trong một tập hàm cơ sở hóa học không trực giao. Biểu diễn này là một bài toán giá trị riêng tổng quát gọi là các phương trình Roothaan.
Phân tích riêng của một ma trận đối xứng nửa xác định dương hay PSD (positive semi-definite) thu được một cơ sở trực giao gồm các vectơ riêng, mỗi vectơ riêng có giá trị riêng tương ứng không âm. Phân tích trực giao của một ma trận PSD được sử dụng trong phân tích đa biến, trong đó các ma trận hiệp phương sai mẫu là PSD. Phép phân tích trực giao này được gọi là phép phân tích thành phần chính (PCA) trong thống kê. PCA nghiên cứu liên hệ tuyến tính giữa các biến. PCA được tiến hành trên ma trận hiệp phương sai hay ma trận tương quan (trong đó mỗi biến được tỉ lệ để có phương sai mẫu bằng 1). Đối với ma trận hiệp phương sai hay ma trận tương quan, các vectơ riêng tương ứng với các thành phần chính và các giá trị riêng tương ứng với phương sai giải thích bởi các thành phần chính. Phân tích thành phần chính của một ma trận tương quan cung cấp một cơ sở trực giao cho không gian của dữ liệu đã quan sát. Trong cơ sở này, các giá trị riêng lớn nhất tương ứng với các thành phần chính có liên hệ với tối đa hiệp phương sai trong một số dữ liệu đã quan sát.
Phép phân tích thành phần chính được sử dụng như một phương tiện để giảm chiều dữ liệu trong nghiên cứu các tập hợp dữ liệu lớn, chẳng hạn trong tin sinh học. Trong phương pháp luận Q, các giá trị riêng của ma trận tương quan xác định phán đoán về ý nghĩa thực tiễn của nhà phương pháp luận (khác với ý nghĩa thống kê trong kiểm định giả thuyết; xem tiêu chí xác định số nhân tố). Khái quát hơn, phân tích thành phần chính có thể được sử dụng làm phương pháp phân tích nhân tố trong mô hình phương trình cấu trúc (SEM).
Các bài toán giá trị riêng thường gặp trong lĩnh vực phân tích rung động của các cấu trúc cơ học với nhiều bậc tự do. Các giá trị riêng chính là các tần số tự nhiên (hay tần số riêng) của rung động, còn các vectơ riêng x {\displaystyle x} biểu diễn hình dạng của các mốt rung động. Cụ thể, rung động không cưỡng bức được mô tả bởi
m x ¨ + k x = 0 {\displaystyle m{\ddot {x}}+kx=0}hay
m x ¨ = − k x {\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx}tức là gia tốc tỉ lệ với vị trí (ta sẽ có x {\displaystyle x} là hàm sin theo thời gian).
Trong n {\displaystyle n} chiều, m {\displaystyle m} trở thành ma trận khối lượng và k {\displaystyle k} là ma trận độ cứng.
Vậy các nghiệm được chọn là một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm của bài toán giá trị riêng tổng quát sau
k x = ω 2 m x {\displaystyle kx=\omega ^{2}mx}trong đó ω 2 {\displaystyle \omega ^{2}} là giá trị riêng ω {\displaystyle \omega } là tần số góc (ảo).
Hơn nữa, rung động cưỡng bức được cho bởi
m x ¨ + c x ˙ + k x = 0 {\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0}dẫn đến một bài toán gọi là bài toán giá trị riêng bậc hai,
( ω 2 m + ω c + k ) x = 0. {\displaystyle \left(\omega ^{2}m+\omega c+k\right)x=0.}Có thể được đơn giản về một bài toán giá trị riêng tổng quát bằng các biến đổi đại số nhưng phải giải một hệ lớn hơn.
Tính trực giao của các vectơ riêng x {\displaystyle x} cho phép tách các phương trình vi phân sao cho hệ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng tuyến tính của các vectơ riêng. Bài toán giá trị tổng quát của các cấu trúc phức tạp thường có thể được giải bằng phân tích phần tử hữu hạn.
Trong cơ học, các vectơ riêng của tenxơ mô men quán tính xác định các trục chính của một vật rắn. Tenxơ mô men quán tính là một đại lượng quan trọng để xác định sự quay của một vật rắn quanh khối tâm của nó.
Trong cơ học chất rắn, tenxơ ứng suất là đối xứng và vì thế có thể được phân tích thành một tenxơ đường chéo với các giá trị riêng nằm trên đường chéo và các vectơ riêng là một cơ sở. Vì nó là chéo nên theo định hướng này tenxơ ứng suất không có thành phần trượt; các thành phần nó có là các thành phần chính.
Trong lý thuyết phổ đồ thị, một giá trị riêng của một đồ thị được định nghĩa là giá trị riêng của ma trận kề A {\displaystyle A} của đồ thị đó, hay của ma trận Laplace của đồ thị dưới toán tử Laplace rời rạc. Vectơ riêng chính thứ k {\displaystyle k} của một đồ thị được định nghĩa là vectơ riêng ứng với giá trị riêng lớn thứ k {\displaystyle k} hoặc nhỏ thứ k {\displaystyle k} của ma trận Laplace. Vectơ riêng chính thứ nhất của đồ thị được gọi ngắn gọn là vectơ riêng chính.
Vectơ riêng chính được sử dụng để đo độ trung tâm của các đỉnh của nó. Một ví dụ là thuật toán PageRank của Google. Vectơ riêng chính của một ma trận kề được chỉnh sửa của đồ thị World Wide Web cho xếp hạng trang là các thành phần của nó. Vectơ này tương ứng với phân phối tĩnh của xích Markov được biểu diễn bởi ma trận kề đã được chuẩn hóa hàng. Tuy nhiên ma trận kề trước đó phải được chỉnh sửa để chắc rằng một phân phối tĩnh tồn tại. Vectơ riêng nhỏ thứ hai có thể được sử dụng để phân vùng đồ thị thành các cụm (cluster), qua phân vùng phổ hay các phương pháp có sẵn khác.
Thực đơn
Giá trị riêng và vectơ riêngLiên quan
Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Giá trị riêng và vectơ riêng